martes, 9 de agosto de 2016

ECUACIONES RESUELTAS

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR


INTEGRANTES:  Michelle Chiquito, Braulio Castillo, Adriana Chacha, Sara Canchignia, Solange Chicaiza, Pamela Castillo.
CURSO: Nivelación.
PARALELO: V02.
FECHA: 08/08/2016

TEMA: Definición de ecuaciones de segundo grado, Ejemplo, Análisis gráfica , Ecuaciones cuadráticas, Análisis de formula general y ejercicios propuestos.



ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 

DEFINICIÓN                                                                                                           
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma:

                                                        ax2 + bx + c = 0 


Siendo a, b y c números reales y a≠0.
• Los coeficientes de la ecuación son a y b. 
  • El término independiente es c.
• Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa.
• Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta.
Ejercicios

Ecuación de segundo grado Completa:
3x2 + 4x + 2 = 0
a=3; b=4; c=2

Ecuación de segundo grado Incompleta:                                                   
3x2 + 2 = 0
a=3; b=0; c=2
Ejemplos:
x2+6x-16=0
x2+11x-30=0
4x2+8x+3=0
6x2+13x-8=0

2x2-6x=0
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA

DEFINICIÓN
En Matemáticas, cuando hablamos de analizar una ecuación nos referimos a estudiarla usando herramientas algebraicas que nos permitan determinar fundamentalmente cuatro aspectos que son los siguientes :

1.-Sus intersecciones con los ejes coordenados
2.-Sus simetrías con respecto a los ejes coordenados
3.-Su extensión (dominio y rango)
4.-La posibilidad de que presente un comportamiento asintótico

Método Gráfico  para la solución de ecuaciones de segundo grado – Matemáticas 
Como sabemos, existe un método gráfico para solucionar una ecuación de 
primer grado y también existe un método gráfico para solucionar
ecuaciones de segundo grado, vamos a analizar un ejemplo en el cual veremos el 
comportamiento de las gráficas para las ecuaciones cuadráticas.


Tenemos el siguiente ejemplo:

Una base militar está ubicada en la coordenada (-3, -6), el militar de guardia localiza 
un tanque de guerra enemigo en la coordenada (3,0), el general ordena enviar 
un misil que  describe una trayectoria definida por la siguiente ecuación de segundo grado:


                                                         6 + x - x2

Representa gráficamente la ecuación de 2º grado: 

Respuesta:




Vamos a realizar la trayectoria del misil y determinar si el tanque enemigo 
será destruido por el misil.
Tenemos los siguientes datos:
La base militar está ubicada en la coordenada (-3, -6)
El tanque enemigo está ubicado en la coordenada (3, 0)
LA función de la trayectoria que el misil sigue es: 6 + x – x2
Para graficar la trayectoria que seguirá el misil, es necesario establecer una
 relación funcional, en otras palabras:

y = f(x) = 6 + x - x2

De esta manera se obtendrá la trayectoria del misil en cada coordenada (x, y) de su dominio,
vamos a definir un dominio arbitrario de x [3, 4] y con estos datos realizaremos una 
tabulación de dichos datos.


Al realizar la gráfica, tenemos como resultado una cóncava o parábola hacia 
abajo:



ECUACIÓN CUADRÁTICA
                                          
DEFINICIÓN
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c.
Donde a, b, c son números reales.
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver  las ecuaciones cuadráticas. 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10
3x2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación  cuadrática que se va a resolver y para eso puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
1.      Factorización.
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado  es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma  ax2 + bx + c = 0. Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
2.        La Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece algo que todos siempre hemos sabido: si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0. Podemos usar este método 
para identificar soluciones de una ecuación.

Ejemplo:
Resolver x2 – 5x + 6 = 0.

podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

3.      Completando el cuadrado.
Convierte un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil 
de graficar y resolver. Esto es, trinomios de la forma:   x2 + bx.
 Regla para hallar el último término de x2 + bx                                                  
El último término de un trinomio cuadrado perfecto, es el cuadrado de la mitad 
del coeficiente del término del medio:
Completando el Cuadrado.- Para completar el cuadrado en una expresión de 
la forma x2 + bx, sumar. Y la expresión se vuelve.


4.    Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, c son números reales.
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.  Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. 
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10
3x2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)
–6x2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver y para eso puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

   5.      Factorización.
Cuando un polinomio es igual a cierto valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0.
Podemos resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la Multiplicación.
6.        La Propiedad Cero de la Multiplicación
La Propiedad Cero de la Multiplicación establece algo que todos siempre hemos sabido:  si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0.
Esta propiedad puede parecer obvia, pero tiene importante implicaciones en cómo resolvemos ecuaciones cuadráticas: significa que si tenemos un polinomio factorizado  igual a 0, podemos estar seguros de que al menos uno de sus factores es también 0.
Podemos usar este método para identificar soluciones de una ecuación.
Ejemplo:                                                                                              
Resolver:
x2 – 5x + 6 = 0.


Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros.  Por eso tenemos que  conocer otros métodos.

7.      Completando el cuadrado.
Convierte un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto, el cual es más fácil de graficar y resolver. Esto es, trinomios de la forma:   x2 + bx.
Regla para hallar el último término de x2 + bx.- El último término de un trinomio cuadrado perfecto, es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio:
Completando el Cuadrado.- Para completar el cuadrado en una expresión de la
forma x2 + bx, sumarhttp://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_files_es/image005.gif. Y la expresión se vuelvehttp://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_files_es/image010.gif.


Demostración de la Fórmula Cuadrática o Fórmula General.-  Algunos casos la descomposición en factores de la expresión cuadrática puede presentar dificultades: aún más, en muchos casos  puede sencillamente no haber factores reales.  En consecuencia, el método más útil para resolver una ecuación cuadrática es mediante la llamada fórmula cuadrática. Obtenemos esta fórmula completando el cuadrado al igual que en la determinación de vértices de la parábola. 

Demostración: Si dividimos por el coeficiente de x 2 en la ecuación anterior y pasamos el término constante al segundo miembro de la ecuación, Podemos completar el cuadrado en el primer miembro sumando a ambos miembros de la  ecuación:

   Extrayendo raíz cuadrada resulta



Tomando en un caso el signo más y en el otro el signo menos obtenemos las dos raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 lo cual completa la demostración. Usted debe de verificar que cada una de las raíces es en realidad una solución de la ecuación substituyéndola en: ax2 + bx + c = 0.

Veamos unos ejemplos:



EJERCICIOS PROPUESTOS



                  6.-       Ejercicios propuestos: Ecuaciones

                               


EJERCICIOS PROPUESTOS: Factorization Simple


                         
 EJERCICIOS PROPUESTOS: Gráficas



2)      Grafica la función f x = - 1 2 x + 2 2 + 8
                                                                                            
                                                                               
x 2 1 2 × x 2

                   

        
3)     y = 2x − 1



                              4) Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
                                                               y = −3x −1


5)    f x = x 2
                             La gráfica de la función: f x = x 2 es la siguiente:
Bibliografía:


http://www.vitutor.com/fun/1/a_a.html ( EJERCICIOS PROPUESTOS)


















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